Question

（2012•陕西）设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比；
（2）证明：对任意k∈N₊，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a₅，a₃，a₄成等差数列结合通项公式，可得2a1q2=a1q4+a1q3，由此即可求得数列{a_n}的公比；
（2）对任意k∈N₊，S_k+2+S_k+1-2S_k=（S_k+2-S_k）+（S_k+1-S_k）=a_k+2+a_k+1+a_k+1=2a_k+1+a_k+1×（-2）=0，从而得证．

解答：（1）解：设{a_n}的公比为q（q≠0，q≠1）
∵a₅，a₃，a₄成等差数列，∴2a₃=a₅+a₄，
∴2a1q2=a1q4+a1q3
∵a₁≠0，q≠0，
∴q²+q-2=0，解得q=1或q=-2
∵q≠1，
∴q=-2
（2）证明：对任意k∈N₊，S_k+2+S_k+1-2S_k=（S_k+2-S_k）+（S_k+1-S_k）=a_k+2+a_k+1+a_k+1=2a_k+1+a_k+1×（-2）=0
∴对任意k∈N₊，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．