Question

已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）若?x₁∈[，2]，?x₂∈[，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出原函数的导函数，利用极值点处的导数等于0求解a的值；
（2）把f（x）的解析式代入方程f（x）+2x=x²+b，然后构造函数g（x）=x²-3x+lnx+b，方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，说明函数g（x）在[，2]上有两个不同的零点，利用导数求出函数g（x）在[，2]上的极小值，由极小值小于0，两个端点处的函数值大于等于0列式求解b的取值范围；
（3）把?x₁∈[，2]，?x₂∈[，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立转化为时，，利用导数求f（x）在[，2]上的最小值，配方求出函数y=x²+b的最小值，列式求得b的取值范围．
解答：解：（1）由数f（x）=x-alnx，所以，由题意得，f′（1）=0，所以a=1；
（2）由（1）得，f（x）=x-lnx．
f（x）+2x=x²+b⇒x-lnx=x²+b⇒x²-3x+lnx+b=0．
设g（x）=x²-3x+lnx+b，则．
当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
所以，g（2）=b-2+ln2．
方程f（x）+2x=x²+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，则
，解得；
（3）?x₁∈[，2]，?x₂∈[，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，等价于
时，．
由，时f′（x）0．
所以f（x）在上位减函数，在（1，2]上为增函数．
所以f（x）_min=f（1）=1．
而y=x²+b在x∈上的最小值为．
∴，∴b．
∴b的取值范围为．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，考查了数学转化思想方法，特别是对于（3）的转化，考查了学生的抽象思维能力，难度较大．