Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）面BDC₁∥面AB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）由题意连接A₁C₁，先证明A₁ACC₁是平行四边形得A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，再证AOC₁O₁是平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理进行证明；
（2）因为AB∥CD∥D′C′，加上AB=CD=D′C′，可证ABC′D′是平行四边形，同理可证C′D∥平面AB′D′，从而求证．

解答：证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁
连接AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴A₁ACC₁是平行四边形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴AOC₁O₁是平行四边形
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）证明：

AB∥DC∥D′C′ AB=DC=D′C′

?ABC′D′是平行四边形，
∴?

BC′∥AD′ BC′?平面AB′D′ AD′?平面AB′D′

BC′∥平面AB′D′ ?同理，C′D∥平面AB′D′ BC′∩C′D=C′

?平面C′DB∥平面AB′D′．

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面平行的判断，此类问题先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住．