Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD=，EF=2，BE=3，CF=4，
(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；
(Ⅱ)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°。

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=2，
∵在△FCE中，CF²=EF²+CE²，∴EF⊥CE，
由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，
∴EF⊥平面DCE。
（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH，
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，
得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4，EC=2，∴∠CEF=60°，
由CE∥BH，得∠BHE=60°，
又在Rt△BHE中，BE=3，∴，
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，
在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°。