Question

如图所示，多面体ABCDS中，平面ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=AD．

第19题图

(1)求证：平面SDB上平面ABCD；

(2)求二面角A-SB-D的大小．

Answer 1

答案：(1)∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A

∴SD⊥平面ABCD，

又∵SD平面SBD，∴平面SDB⊥平面ABCD．

(2)解法一：由(1)知平面SDB⊥平面ABCD，

BD为平面SDB与平面ABCD的交线，过点A作AE⊥DB于E，如图a所示，则AE⊥平面SDB，又过点A作AF⊥SB于F，连接EF.

由三垂线定理的逆定理得EF⊥SB，

第19题图

∴∠AFE为二面角A-SB-D的平面角．

在矩形ABCD中，设AD=a，

则BD=，

在Rt△SBC中，SB=．

而在Rt△SAD中，SA=2a，又AB=2a，

∴SB²=SA²+AB²．

即△SAB为等腰直角三角形，且∠SAB为直角，

∴AF=AB=

∴sin∠AFE=

故二面角A-SB-D的大小为arcsin．

解法二：由题可知DS、DA、DC两两互相垂直．

如图b建立空间直角坐标系D-xyz

第19题图(续)

设AD=a，

则S(，0，0)，A(0，a，0)，B(0，a，2a)，C(0，0，2a)，D(0，0，0)

∵=(，0，0)，=(0，a，2a)

设平面SBD的一个法向量为n=(x，y，-1)

则，即

解得n=(0，2，-1)

又∵=(0，0，2a)，=(，a，0)

设平面SAB的一个法向量为m=(1，y，z)，

则，即

解得m=(1，，0)，

cos＜m，n＞=.

故所求的二面角为arccos.