Question

已知f（x）是偶函数，f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（2a²-3a+2）＜f（a²-5a+9），现知适合条件的a的集合是不等式2a²+（m-4）a+n-m+3＞0的解集，求m和n的值．

Answer 1

解：∵f（x）是偶函数，f（x）在（-∞，0）上是增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，
又2a²-3a+2＞0，a²-5a+9＞0恒成立
∴2a²-3a+2＞a²-5a+9
即a²+2a-7＞0
又∵适合条件的a的集合是不等式2a²+（m-4）a+n-m+3＞0的解集，
∴m-4=4，n-m+3=-14
解得m=8，n=-9
分析：由已知中（x）是偶函数，f（x）在（-∞，0）上是增函数，我们可以得到f（x）在（0，+∞）上的单调性，然后可将f（2a²-3a+2）＜f（a²-5a+9），转化为一个关于a的一元二次不等式，结合适合条件的a的集合是不等式2a²+（m-4）a+n-m+3＞0的解集，我们可构造出关于m，n的方程组，解方程组即可得到m和n的值．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数奇偶性与单调性及已知中f（x）在（-∞，0）上是增函数，判断出f（x）在（0，+∞）上是减函数，是解答本题的关键．