Question

已知函数f(x)=loga(x2+ax+2)
（1）若定义域为R，求a范围
（2）若值域为R，求a范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=loga(x2+ax+2)的定义域为R，说明对任意实数x，对数式的真数恒大于0，而真数是二次三项式，由其对应的二次方程的判别式小于0即可求得a的取值范围，同时兼顾对数式的底数有意义；
（2）根据函数f(x)=loga(x2+ax+2)的值域为R，说明对数式的真数能取到大于0的所有实数，则真数上的二次三项式对应的抛物线顶点应在x轴上或其下方，故其对应的二次方程的判别式应大于等于0，由此求解a的取值范围．

解答：解：（1）由函数f(x)=loga(x2+ax+2)的定义域为R，
说明x²+ax+2＞0对任意实数恒成立，
则不等式x²+ax+2＞0对应二次方程的△=a²-8＜0，即-2

2

＜a＜2

2

．
又a＞0且a≠1，所以，0＜a＜2

2

，且a≠1．
故使函数f(x)=loga(x2+ax+2)的定义域为R的a的取值范围是（0，1）∪（1，2

2

）；
（2）函数f(x)=loga(x2+ax+2)的值域为R，
说明x²+ax+2能取到大于0的所有实数，
则不等式x²+ax+2＞0对应二次方程的△=a²-8≥0，解得：a≤-2

2

或a≥2

2

．
又a＞0且a≠1，所以，使函数f(x)=loga(x2+ax+2)的值域为R的a的取值范围是（2

2

，+∞）．

点评：本题考查了函数的定义域，函数的值域，考查了数学转化思想，解答此题的关键是由函数值域是R，得到真数的二次三项式的判别式大于等于0，是基础题，解答时易忽略底数的限制条件，也是易错题．