Question

（2013•宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D，E分别为CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACB；
（Ⅱ）求A₁B与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求证直线DE平行于平面ABC，可利用线面平行的判定定理，因此想到在平面ABC内找到一条与DE平行的直线即可，根据E为A₁B的中点，所以可取AB的中点F，根据三角形中位线知识证出四边形DEFC为平行四边形，从而得到DE∥CF，则问题得证；
（Ⅱ）连接DF，在平面EFD内过E作EH⊥DF于H，通过证明AB垂直于平面EFD得到AB⊥EH，从而说明EH垂直于平面ABD，得到∠EBH为A₁B与平面ABD所成角，在直角三角形EHB中可求该角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：如图，取AB中点F，连接EF，FC，
又因为E为A₁B的中点，
所以EF∥A₁A，EF=

1

2

A1A，
又DC∥A₁A，DC=

1

2

A1A
所以四边形DEFC为平行四边形
则ED∥CF，因为ED?平面ABC，FC?平面ABC，
所以ED∥平面ABC；
（Ⅱ）解：过E作EH⊥DF于H，连结HB，
由CC₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以CC₁⊥AB，
由AC=BC，AF=FB，所以AB⊥CF，
又CF∩CD=C，CF，CD?平面DEFC，
所以AB⊥平面DEFC，EH?平面DEFC，所以AB⊥EH，
又EH⊥DF，DF∩AB=F，AB，DF?平面ABD，所以EH⊥平面ABD，
所以∠EBH为A₁B与平面ABD所成角的平面角，
因为H为△ABD的重心，在Rt△DEF中，EF2=FH•FD=

1

3

FD2=1
所以得FD=

3

，HF=

3

3

，EH=

6

3

，CF=

2

，FB=

2

，EB=

3

，
得sin∠EBH=

EH

EB

=

2

3

，所以A₁B与平面ABD所成角的正弦值为

2

3

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面所成的角，解答此题的关键是创设线面平行的条件，求解线面角时，找角是关键，必须注意的是找出的角要落在易于求解的三角形中．此题是中档题．