Question

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有，
据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，
易求C₂：y²=4x
设C₁：，
把点（﹣2，0）（）代入
得：解得
∴C₁方程为
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x﹣1），
与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由消掉y，
得（1+4k²）x²﹣8k²x+4（k²﹣1）=0，
于是，①
y₁y₂=k（x₁﹣1）×k（x₁﹣1）=k²[x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1]
即②
由，即，
得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，
得，
解得k=±2；
所以存在直线l满足条件，
且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．