Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)证明FA∥平面EDB；(2)证明平面PAB⊥平面EFD．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如图，连结AC，交BD于O，连结EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．而EO平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB．(2)∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC．PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同理，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，∴D正⊥PB．又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．∴平面PAB⊥平面EFD．