Question

已知双曲线，两焦点为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，且△ABF₁内切原的半径为a，则此双曲线的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：欲求双曲线的离心率，只须建立a，c的关系式即可，由双曲线的定义得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，从而△ABF₁周长为：2|AB|+4a，利用△ABF₁内切圆的半径为a，得到△ABF₁面积为：S=（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S=|AB|×2c，由面积相等即可建立a，c的关系，即可求得此双曲线的离心率．
解答：由双曲线的定义得：
|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a两式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
又在双曲线中，|AB|=2×，
∴△ABF₁周长为：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4×+4a，
∵△ABF₁内切圆的半径为a，
∴△ABF₁面积为：S=（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a
又S=|AB|×2c，
∴（4×+4a）×a=|AB|×2c
即c²-a²=ac
解得：e=
则此双曲线的离心率为
故选C．
点评：本题考查双曲线的离心率和三角形内切圆的性质，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘，注意应用三角形面积的不同计算方法建立关于a，b，c的等式求离心率．