Question

7．设函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）设a＞0，若函数f（x）在区间（a，a+$\frac{1}{3}$）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f（x）≥$\frac{{k}^{2}+k}{x+1}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（a，a+$\frac{1}{3}$）（a＞0）上存在极值点，可得 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜1＜a+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$⇒$\frac{2}{3}$＜a＜1，即可求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，分离参数，构造g（x），（x≥1），证明g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，
所以函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．
由题意得  $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜1＜a+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$⇒$\frac{2}{3}$＜a＜1，
故所求实数a的取值范围为（$\frac{2}{3}$，1）
（2）令m=k³+k，
当x≥1时，不等式f（x）≥$\frac{{k}^{3}+k}{x+1}$恒成立?$\frac{1+lnx}{x}$≥$\frac{m}{x+1}$?m≤$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$．
令g（x）=$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，（x≥1），
由题意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0，当且仅当x=1时取等号．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＞0，则g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（1）=2
所以m≤2，即：k²+k≤2，解得：-2≤k≤1，
∴实数k的取值范围为[-2，1]．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．