Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n＝2－(＋1)a_n(n≥1)．

(1)求证：数列{}是等比数列；

(2)设数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，A_n＝．试比较A_n与的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由a1＝S1＝2－3a1得a1＝　　1分 　　由Sn＝2－(＋1)an得Sn－1＝2－(＋1)an－1， 　　于是an＝Sn－Sn－1＝(＋1)an－1－(＋1)an， 　　整理得＝×(n≥2)　　4分 　　所以数列{}是首项及公比均为的等比数列　　5分 　　(2)由(Ⅰ)得＝×＝．　　　　　6分 　　于是2nan＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝　　7分 　　， 　　An＝2[(1－)＋(－)＋…＋＝2(1－)＝　　9分 　　又＝，问题转化为比较与的大小，即与的大小． 　　设f(n)＝，g(n)＝． 　　∵f(n＋1)－f(n)＝，当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＞0， 　　∴当n≥3时f(n)单调递增　　11分 　　∴当n≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)＜1，∴当n≥4时f(n)＞g(n)， 　　经检验n＝1，2，3时，仍有f(n)≥g(n)， 　　因此，对任意正整数n，都有f(n)＞g(n)， 　　即An＜　　13分