Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为

1

2

．
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；②PA=PB+PC．

Answer 1

分析：（1）由b=3，

c

a

=

1

2

，b²+c²=a²能够推导出椭圆的标准方程．
（2）①由题设条件知△ABC为等边三角形．由此能够推导出点P一定在经过A，B，C三点的圆M上．
②PA²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，PB²=（x-

3

）²+y²=2y+6-2

3

x，PC²=（x+

3

）²+y²=2y+6+2

3

x，由此能够推导出PA=PB+PC．

解答：解：（1）因为b=3，

c

a

=

1

2

，b²+c²=a²，
解得a²=12，b²=9，c²=3，所以椭圆的标准方程为

x2

12

+

y2

9

=1．
（2）①因为B（-

3

，0），C（

3

，0），A（0，3），所以△ABC为等边三角形．
经过A，B，C三点的圆M的方程为x²+（y-1）²=4，即x²+y²-2y=3．
设点P（x，y），则k_PC=tanα=

y

x- 3

，k_PB=tanβ=

y

x+ 3

．
因为β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．因为tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2 3 y

x2+y2-3

，
所以

-2 3 y

x2+y2-3

=-

3

．化简得x²+y²-2y=3．
所以点P一定在经过A，B，C三点的圆M上．
②PA²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，因为x²+y²=3+2y，所以PA²=12-4y．
PB²=（x-

3

）²+y²=2y+6-2

3

x，PC²=（x+

3

）²+y²=2y+6+2

3

x，
2PB×PC=2

4(y+3)2-12x2

=4

(y+3)2-3x2

，因为3x²=9-3y²+6y，
所以2PB×PC=4

4y2

，由于y＜0，所以2PB×PC=-8y，
从而（PB+PC）²=PB²+2PB×PC+PC²=4y+12-8y=12-4y=PA²．
所以PA=PB+PC．

点评：本题考查椭圆知识的综合运用，解题要注意公式的灵活运用．