Question

设ABC是坐标平面上的一个三角形，P为平面上一点且

AP

=

1

5

AB

+

2

5

AC

，则

△ABP的面积

△ABC的面积

=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  5

• C．

  2

  5

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：连接CP并延长交AB于D，设

AP

=λ

AD

+μ

AC

且λ+μ=1，由平面向量基本定理结合题意解出

AP

=

3

5

AD

+

2

5

AC

，从而算出

PD

=

2

5

CD

，再用三角形的面积公式即可算出△ABP的面积与△ABC面积之比．

解答：解：连接CP并延长交AB于D，
∵P、C、D三点共线，∴

AP

=λ

AD

+μ

AC

且λ+μ=1
设

AB

=k

AD

，结合

AP

=

1

5

AB

+

2

5

AC

得

AP

=

k

5

AD

+

2

5

AC

由平面向量基本定理解之，得λ=

3

5

，k=3且μ=

2

5

∴

AP

=

3

5

AD

+

2

5

AC

，可得

PD

=

2

5

CD

，
∵△ABP的面积与△ABC有相同的底边AB
高的比等于

|PD|

与

|CD|

之比
∴△ABP的面积与△ABC面积之比为

2

5

故选：C

点评：本题给出三角形ABC内部一点满足的向量等式，求两个三角形的面积之比．着重考查了平面向量基本定理与三角形面积公式等知识，属于中档题．