Question

设数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，S₂=8，S₄=32，数列{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知得，

2a1+d=8 4a1+6d=32

，解方程可求a₁，d，进而可求a_n，再由a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁可求首项b₁，公比q，进而可求等比数列的通项公式b_n
（Ⅱ）由（I）可求cn=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=(2n-1)•4n-1，结合数列的特点可考虑利用错位相减求和

解答：解：（Ⅰ）数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由已知得，

2a1+d=8 4a1+6d=32

，
解得a₁=2，d=4
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2…（3分）
因而有，b₁qd=b₁，d=4，
∴q=

1

4

故bn=b1•qn-1=2×

1

4n-1

=

2

4n-1

．
即{b_n}的通项公式为bn=

2

4n-1

…（6分）
（Ⅱ）∵cn=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=(2n-1)•4n-1
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）4^n-1，
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-3）4^n-1+（2n-1）4ⁿ，…（8分）
两式相减，得3T_n=-1-2（4+4²+4³+…+4^n-1）+（2n-1）4ⁿ
=

1

3

[(6n-5)4n+5]，
所以，Tn=

1

9

[(6n-5)4n+5]．    …（12分）

点评：本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减的求和法，考查学生的运算能力．