Question

如图，在点上，过点做//将的位置（），

使得.

(1)求证：.   （2）试问：当点上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

Answer 1

解：（1）在中，

又平面PEB.

又平面PEB, ………………5分

（2）解法一：过P作PQBE于点Q，垂足为Q；过Q作QHFC，垂足为H。则 即为所求二面角的平面角。……………………………………………………………8分

  设PE=x，则EQ=，PQ=，………………………………………………10分

QH=，…………………………………………………12分

故，……………………………………………………13分

，即二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值……14分

解法二：

在平面PEB内，经P点作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,

EFPD.PD面BCEF.在面PEB内过点B作直线BH//PD,则BH面BCFE.以B点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. ………………6分

设PE=x（0＜x＜4）又[ http://wx.jtyjy.com/]

在中，

………………………………………………………………………………………8分

从而     

设是平面PCF的一个法向量，由

得取得

是平面PFC的一个法向量. …………………………………11分

又平面BCF的一个法向量为………………………………12分

设二面角的平面角为，则

因此当点E在线段AB上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值[ http://wx.jtyjy.

………………………………………………………………………………………14分