Question

某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．
（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
（2）依照（1）的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：

1.19≈2.36	1.00499≈1.04
1.110≈2.59	1.004910≈1.05
1.111≈2.85	1.004911≈1.06

Answer 1

分析：（1）求出10年后该校学生的合格实验设备，再利用10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，即可得到每年应更换的旧设备的套数；
（2）利用

1

2

a÷

a

32

=16年，即可求得全部更换旧设备需要的时间．

解答：解：（1）10年后学生人数为b（1+4.9‰）¹⁰=1.05b．
又设今年起学校的合格实验设备为数列{a_n}，则a₁=1.1a-x，a_n+1=1.1a_n-x，（*）
令a_n+1+λ=1.1（a_n+λ），则a_n+1=1.1a_n+0.1λ，与（*）式比较知λ=-10x，
故数列{a_n-10x}是首项为1.1a-11x，公比为1.1的等比数列，
所以a_n-10x=（1.1a-11x）•1.1^n-1，所以a_n=10x+（1.1a-11x）•1.1^n-1．
∴a₁₀=10x+（1.1a-11x）•1.1⁹≈2.6a-16x．
由题设得

2.6a-16x

1.05b

=2×

a

b

，解得x=

1

32

a．
即每年更换旧设备为

1

32

a套．
（2）全部更换旧设备需

1

2

a÷

a

32

=16年．
即按此速度全部更换旧设备需16年．

点评：本题考查数列模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．