Question

已知函数f(x)＝lg|x|，

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)画出函数f(x)的图像草图；

(3)求函数f(x)的单调递减区间．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 　　f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)， 　　∴f(－x)＝f(x)． 　　∴函数f(x)是偶函数． 　　(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称，将函数y＝lgx的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得函数f(x)的图像，如下图所示． 　　(3)方法一：由上图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)． 　　证明：设x1、x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 　　则f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2|＝lg＝lg， 　　∵x1、x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 　　∴|x1|＞|x2|＞0．∴＞1．∴lg＞0． 　　∴f(x1)＞f(x2)． 　　∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数， 　　即函数的单调递减区间是(－∞，0)． 　　方法二：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．设y＝lgu，u＝|x|． 　　当函数f(x)是减函数时，由于函数y＝lgu是增函数， 　　则函数u＝|x|是减函数． 　　又函数u＝|x|的单调递减区间是(－∞，0]， 　　∴函数f(x)＝lg|x|的单调递减区间是(－∞，0)．

提示：

思路分析：本题主要考查对数函数的图像和性质．(1)确定函数的定义域，判断f(x)和f(－x)的关系；(2)函数f(x)的图像关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图像观察出单调递增区间，再用定义证明． 　　绿色通道：作形如函数y＝loga|x＋b|(a＞0，a≠1)的图像，通常利用平移变换画出图像，当a＞1时，函数y＝loga|x＋b|的单调递增区间是(－b，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－b)；当0＜a＜1时，函数y＝loga|x＋b|的单调递增区间是(－∞，－b)．单调递减区间是(－b，＋∞)．判断有关对数函数的奇偶性．结合函数的定义域和对数的运算性质，通常利用定义法判断函数奇偶性．由对数函数和其他简单初等函数复合而成的简单复合函数，在讨论其单调性时，先求定义域，利用图像观察出单调区间，再用定义法证明，或利用复合函数的单调性口诀：“同增异减”直接得到．