Question

已知函数f（x）=2+

1

x

，数列{a_n}满足a₁=1，

1

an+1

=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）证明：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=2+

1

x

，

1

an+1

=f（a_n）联立可得递推式

1

an+1

=2+

1

an

，移向后即可得到结论；
（2）由数列{

1

an

}是等差数列求出a_n，把a_n代入S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，利用裂项相消可求前n项和．

解答：（1）证明：因为f（x）=2+

1

x

，
由

1

an+1

=f（a_n）得，

1

an+1

=2+

1

an

，
即

1

an+1

-

1

an

=2（n∈N*），
所以，数列{

1

an

}是公差为2的等差数列；
（2）解：由数列{

1

an

}是公差为2的等差数列，

1

a1

=1．
所以

1

an

=1+2(n-1)=2n-1．
则an=

1

2n-1

．
anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以，S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消求数列的前n项和，此题是中档题．