Question

已知数列{a_n}满足如图所示的程序框图.

(1)写出数列{a_n}的一个递推公式；

(2)证明：{a_n＋1－3a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；

(3)求数列{n(a_n＋3^n－1)}的前n项和T_n.

Answer 1

(1)由程序框图可知，a₁＝a₂＝1，a_n＋2＝5a_n＋1－6a_n. 

(2)由a_n＋2－3a_n＋1＝2(a_n＋1－3a_n)，且a₂－3a₁＝－2可知，数列{a_n＋1－3a_n}是以－2为首项，2为公比的等比数列，可得a_n＋1－3a_n＝－2ⁿ，即＝－，

∵－1＝(－1)，又－1＝－，

∴数列{－1}是以－为首项，为公比的等比数列，∴－1＝－()^n－1，

∴a_n＝2ⁿ－3^n－1(n∈N_＋).

(3)∵n(a_n＋3^n－1)＝n·2ⁿ，

∴T_n＝1·2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ　　　   ①，

2T_n＝1·2²＋2·2³＋…＋n·2^n＋1        ②，

两式相减得T_n＝(－2－2²－…－2ⁿ)＋n·2^n＋1

＝－＋n·2^n＋1＝2－2^n＋1＋n·2^n＋1

＝(n－1)2^n＋1＋2(n∈N_＋).