Question

(本小题满分14分)
已知函数的极值点为和．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）试讨论方程根的个数；
（Ⅲ）设，斜率为的直线与曲线交于
两点，试比较与的大小，并给予证明．

Answer 1

解：（Ⅰ），，……………… 1分
由的极值点为和，
∴的根为和，
∴解得                   ……………………3分
（Ⅱ）由得，
，设， .
，      ………………5分
当变化时，与的变化情况如下表：

	－	+
	单调递减	单调递增

 
由此得，函数的单调减区间为，单调增区间为.…6分
∴，
且当正向趋近于0时，趋近于，
当趋近于时，趋近于. ………………7分
∴当时，方程只有一解；
当时，方程有两解；
当时，方程无解.                         ………………9分
（Ⅲ）.                                   ……………10分
证明：由（Ⅰ）得，
∴，.
要证，即证，
只需证，（因为）
即证．只需证．（*）…………………12分
设，
，
∴在单调递增，，
∴不等式（*）成立.
∴．                                 ………………… 14分

略