Question

讨论并证明函数f（x）=x+在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

证明：设0＜x₁＜x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=（x₁-x₂）+（-）=（x₁-x₂）
（1）当0＜x₁＜x₂＜1时，x₁x₂＜1，即，x₁x₂-1＜0，又∵x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），所以函数在（0，+∞）上为减函数．
（2）当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞1，即，x₁x₂-1＞0，又∵x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数在（0，+∞）上为增函数．
综上所述，f（x）=x+在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
分析：先在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论．
点评：本题考查了函数单调性的证明方法：定义法，本题关键是将（0，+∞）分成两个区间分别讨论．