Question

已知函数f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．
（Ⅰ）若不等式f（x）+g（x）＞3，求x的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过对x的范围的讨论，去掉绝对值符号，转化为三个不等式组解即可；
（Ⅱ）利用绝对值不等式，使得f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6≥|（3-x）+（x+1）|-6=-2，从而可求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）+g（x）＞3等价于|x-3|-|x+1|＞1，
∴

x≤-1 3-x+x+1＞1

或

-1＜x＜3 3-x-x-1＞1

或

x≥3 x-3-x-1＞1

，
∴x≤-1或-1＜x＜

1

2

，即x＜

1

2

，
∴x的取值范围是（-∞，

1

2

）．
（Ⅱ）f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6，
∵对于?x∈R，f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|（3-x）+（x+1）|-6=4-6=-2，
当且仅当（3-x）（x+1）≥0即-1≤x≤3时等号成立．
∴m+1≤-2，
∴m≤-3．即m的取值范围是（-∞，-3]．

点评：本题考查带绝对值的函数，去掉绝对值符号是解决问题的关键，而分类讨论思想是去绝对值符号最长用的方法，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．