Question

F₁ F₂分别是双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF₁F₂的内心，且S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，则λ=

-

4

5

．

Answer 1

分析：设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，由S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，可求得|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，利用双曲线的离心率的定义即可求得λ．

解答：解：依题意，设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则S_△IPF1=

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|，S_△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，
∴|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，
∵P为双曲线右支上一点，
∴2a=-λ×2c，由双曲线的方程可知，a=4，b=3，故c=5，
∴λ=-

2a

2c

=-

4

5

．
故答案为：-

4

5

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，突出考查转化思想的运用，将S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，转化为|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|是关键，也是难点，属于中档题．