Question

设a＞0，

(1)求证：f(x)＝取得极大值和极小值的点各有1个；

(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a和b的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：(x)＝ 　　令(x)＝0，即ax2＋2bx－a＝0．① 　　∵Δ＝4b2＋4a2＞0，∴方程①有两个不相等的实根，记为x1、x2． 　　不妨设x1＜x2，则有(1＋x2)2(x)＝a(x－x1)(x－x2)，且a＞0，(x)、f(x)的变化情况如下表： 　　由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有1个． 　　(2)解：由(1)可知两式相加，得x22－x12＝a(x1＋x2)＋2b． 　　又x1＋x2＝－，代入上式， 　　得x22－x12＝a(－)＋2b＝0， 　　∴x22－x12＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0． 　　而x1＜x2，∴x1＋x2＝0．∴b＝0．代入①式，得a(x2－1)＝0． 　　∵a＞0，∴x＝±1．再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2． 　　∴a＝2，b＝0．