Question

长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB₁与A₁D所成的角为α，AC与BC₁所成的角为β，A₁C₁与CD₁所成的角为γ。

求证：α＋β＋γ＝π

Answer 1

解析:

作如图的辅助线

则∠AB₁C为AB₁与A₁D所成的角∠AB₁C＝α

∵ABA₁B₁C₁D₁

∴BC₁//AD₁，故∠D₁AC为AC与BC₁所成的角∠D₁AC＝β

∵AA₁DD₁CC₁，∴A₁C₁//AC

∴∠D₁CA即为A₁C₁与CD₁所成的角∠D₁CA＝γ

在△ACD₁和△ACB₁中，AB₁＝CD₁，B₁C＝D₁A，AC＝CA

∴△ACD₁≌△CAB₁，故∠AB₁C＝∠AD₁C，故∠AD₁C＝α

在△AD₁C中，∠AD₁C＋∠D₁CA＋∠D₁AC＝π

即：α＋β＋γ＝π