Question

函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立时，且f(1)＝0．

(1)求f(0)的值；

(2)当f(x)＋2＜log_ax，x∈(0，)恒成立时，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又f(1)＝0，∴f(0)＝－2． 　　(2)由(1)知f(0)＝－2，∴f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)x，即f(x)＝x2＋x－2，x∈(0，)，f(x)＋2＜logax恒成立． 　　在x∈(0，)时，f(x)为增函数，－2＜f(x)＜，显然，a＞1，x∈(0，)，logax∈(－∞，－loga2)，上式恒成立的不等式不可能． 　　当0＜a＜1时，x∈(0，)，logax∈(－loga2，＋∞)，即x∈(0，)时，f(x)－logax＋2＜＋loga2．∵x∈(0，)，f(x)－logax＋2＜0恒成立， 　　∴∴≤a＜1．

提示：

本题主要考查全称命题的概念，要结合函数的知识来解决该题．