Question

已知函数其中n∈N^*，a为常数．

(Ⅰ)当n＝2时，求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)当a＝1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f(x)≤x－1．

Answer 1

答案：
解析：

标准答案： 　　(Ⅰ)解：由已知得函数的定义域为， 　　当时，，所以． 　　(1)当时，由得，， 　　此时． 　　当时，，单调递减； 　　当时，，单调递增． 　　(2)当时，恒成立，所以无极值． 　　综上所述，时， 　　当时，在处取得极小值，极小值为． 　　当时，无极值． 　　(Ⅱ)证法一：因为，所以． 　　当为偶数时， 　　令， 　　则()． 　　所以当时，单调递增， 　　又， 　　因此恒成立， 　　所以成立． 　　当为奇数时， 　　要证，由于，所以只需证， 　　令， 　　则()， 　　所以当时，单调递增，又， 　　所以当时，恒有，即命题成立． 　　综上所述，结论成立． 　　证法二：当时，． 　　当时，对任意的正整数，恒有， 　　故只需证明． 　　令，， 　　则， 　　当时，，故在上单调递增， 　　因此当时，，即成立． 　　故当时，有． 　　即． 　　试题分析：第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值．第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断． 　　高考考点：导数及其应用、构造函数证明不等式

提示：

函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性．