Question

三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响．
（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；
（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，记“第i个人破译出密码”为事件A₁（i=1，2，3），分析可得三个事件的概率且三个事件相互独立；
（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则B包括彼此互斥的A₁•A₂••A₁••A₃+•A₂•A₃，由互斥事件的概率公式与独立事件的乘法公式计算可得答案；
（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则D=••，由独立事件的乘法公式计算可得D的概率，再由对立事件的概率公式可得C的概率，比较可得答案．
解答：解：记“第i个人破译出密码”为事件A₁（i=1，2，3），
依题意有，
且A₁，A₂，A₃相互独立．

（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有
B=A₁•A₂••A₁••A₃+•A₂•A₃，
且A₁•A₂•，A₁••A₃，•A₂•A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁•A₂•）+P（A₁••A₃）+P（•A₂•A₃）
=
=．
答：恰好二人破译出密码的概率为．

（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D．
D=••，且，，互相独立，则有
P（D）=P（）•P（）•P（）==．
而P（C）=1-P（D）=，
故P（C）＞P（D）．
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大．
点评：本题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力，难点在于对于恰有二人破译出密码的事件分类不清．