Question

已知双曲线C的中心在原点，抛物线y²=8x的焦点是双曲线的一个焦点，且C过点
（

2

，

3

）
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的实轴左顶点为A，右焦点为F，在第一 象限任取双曲线C上的一点P，试问是否存在常数 λ（λ≠0），使∠PFA=λ∠PAF？

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求抛物线的焦点为F（2，0），从而设双曲线方程，再将点（

2

，

3

）代入，可求双曲线C的方程；
（2）先假设成立，由当PF⊥x轴时，猜想结论λ=2；以此作为条件，再进行一般性探求与证明，证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．

解答： 解：（1）抛物线焦点为F（2，0），设双曲线方程为

x2

4-b2

-

y2

b2

=1，将点（

2

，

3

）代入得b²=3，
所以双曲线方程为x2-

y2

3

=1．
（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．
设P（x₀，y₀），则k_PA=tan∠PAF=

y0

x0+1

，k_PF=-tan∠PFA=

y0

x0-2

．
tan2∠PAF=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

．
y₀²=3（x₀²-1）代入上式，得tan2∠PAF=-

y0

x0-2

=tan∠PFA恒成立，
∴∠PFA=2∠PAF恒成立．

点评：本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程，考查存在性问题，通过假设存在，转化为封闭型命题进行求解．