Question

如图，α⊥B,α∩B=l,A∈α,B∈B,点A在直线l上的射影为A₁，点B在l上的射影为B₁.已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：

（1）直线AB分别与平面α,B所成角的大小；

（2）二面角A₁—AB—B₁的大小.

Answer 1

解：（1）如图,连结A₁B，AB₁.

∵α⊥B,α∩B=l,AA₁⊥l,BB₁⊥l,

∴AA₁⊥B,BB₁⊥α,

    则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与α和B所成的角.Rt△BB₁A中,BB₁=,AB=2.

∴sinBAB₁=,

∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2.

∴sinABA₁=.

∴∠ABA₁=30°.

    故AB与平面α,B所成的角分别是45°,30°.

（2）∵BB₁⊥α,∴平面ABB₁⊥α,在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B，过E作EF⊥AB交AB于F，连结A₁F，则由三垂线定理得A₁E⊥AB.

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

    在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°,∴AB₁=B₁B=.

    在Rt△AA₁B₁中,AA₁=A₁B₁=1,∴A₁E=AB₁=.

    在Rt△AA₁B中,A₁B=.

    由AA₁·A₁B=A₁F·AB,得A₁F=,

∴在Rt△A₁EF中,sinA₁FE=.

∴二面角A₁—AB—B₁的大小为arcsin.