Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，BC=

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，且M是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一点P，使得∠CPD最大？若存在，请求出∠CPD的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN，NF．


在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB．
又∵EF∥AB，EF=

1

2

AB，∴MN∥EF且MN=EF，∠CPD最大
∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，
∴EM∥平面ADF．…（6分）
（Ⅱ）假设在EB上存在一点P，使得∠CPD最大．
∵EB⊥平面ABD，CD?平面ABD，∴EB⊥CD．
又∵CD⊥BD，EB∩BD=B，∴CD⊥平面EBD．…（8分）
在Rt△CPD中，tan∠CPD=

CD

DP

．
∵CD为定值，且∠CPD为锐角，
∴要使∠CPD最大，只要DP最小即可．显然，当DP⊥EB时，DP最小．
因此DB⊥EB，所以当点P在点B处时，使得∠CPD最大．…（11分）
Rt△PCD中，tan∠CPD=

CD

BD

=

2

3

．
所以在EB上存在一点P，使得∠CPD最大，且∠CPD的正切值为

2

3

．…（13分）