Question

已知公比q为正数的等比数列a_n的前n项和为S_n，且5s₂=4s₄．
（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若b_n=q+s_n-1，（n≥2，n∈N^*）且数列b_n也为等比数列，求数列（2n-1）b_n的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）若q=1，则5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，∵a₁≠0，
∴5S₂≠4S₄，不合题意．（2分）
若q≠1，由5S₂=4S₄得5×

a1(1-q2)

1-q

=4×

a1(1-q4)

1-q

，
∴q2=

1

4

，又q＞0，
∴q=

1

2

．．（5分）
（Ⅱ）bn=

1

2

+

a1[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

1

2

+2a1-a1•(

1

2

)n-2，（7分）
由b_n为等比数列知：

1

2

+2a1=0，得a1=-

1

4

，
∴bn=

1

4

•(

1

2

)n-2=

1

2n

．（9分）
则Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

3

22

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
两式相减化简得T_n=3-

2n+3

2n

（12分）