Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，3），离心率e=

4

5

（1）求椭圆方程；
（2）若直线?：y=kx-3与椭圆交于不同的两点M，N，且满足

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，求直线?的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，a，b，c的关系有b=3，e=

c

a

 =

4

5

，a²=b²+c²，解得a=5，b=3．
（2）由题意得AP⊥MN，且P是线段MN的中点．设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x₀，y₀）联立直线与椭圆的方程的（25k²+9）x²-150kx=0．可得P点的坐标进而得直线AP的斜率为kAP=

-25k2-18

25k

，由MN⊥AP，得

-25k2-18

25k

•k=-1，可得k的值，进而求出 的方程．

解答：解：（1）依题意，有

b=3 e= c a = 4 5 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=3

∴椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）∵

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，
∴AP⊥MN，且P是线段MN的中点，
由

y=kx-3 x2 25 + y2 9 =1

消去y并整理得，（25k²+9）x²-150kx=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x₀，y₀）
则x1+x2=

150k

25k2+9

，∴x0=

x1+x2

2

=

75k

25k2+9

∴y0=kx0-3=

-27

25k2+9

即P(

75k

25k2+9

，

-27

25k2+9

)
∵k≠0，∴直线AP的斜率为kAP=

-27 25k2+9 -3

75k 25k2+9

=

-25k2-18

25k

由MN⊥AP，得

-25k2-18

25k

•k=-1，
解得k=±

7

5

（此时满足判别式△＞0）
∴直线?的方程为y=±

7

5

x-3．

点评：求解椭圆方程的关键是熟练掌握椭圆中的相关数值a，b，c之间的关系，求解直线方程的关键是灵活运用平面向量的有关知识，把向量问题转化为代数运算问题，此知识点是高考考查的热点之一．