Question

已知函数，

（1）若函数f（x）在上的增函数，求正实数a的取值范围；

（2）a=1时，求f（x）在[,2]上最大值和最小值；

（3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，.

Answer 1

解：（1）由已知：   

依题意得：≥0对x∈成立

∴ax-1≥0,对x∈恒成立，即a≥,对x∈恒成立，

∴a≥（）_max,即a≥1.

（2）当a=1时，，x∈[,2]，若x∈，则，

若x∈，则，故x=1是函数f（x）在区间[,2]上唯一的极小值点，也就是最小值点，故f（x）_min=f（1）=0.

又f（）=1-ln2，f（2）=- +ln2，f（）-f（2）=-2ln2=，

∵e³>2.7³=19.683>16，

∴f（）-f（2）>0   

∴f（）>f（2）  

∴f（x）在[,2]上最大值是f（）

∴f（x）在[,2]最大1-ln2，最小0

（3）当a=1时，由（1）知，f（x）=+lnx在

当n>1时，令x=，则x>1     ∴f（x）>f（1）=0

即

即ln>