Question

 [2012·安徽卷] 如图1－3，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．

(1)证明：BD⊥EC₁；

(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC₁，求AA₁的长．

图1－3

Answer 1

解：(1)证明：连接AC，A₁C₁.

由底面是正方形知，BD⊥AC.

因为AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，

所以AA₁⊥BD.

又由AA₁∩AC＝A，

所以BD⊥平面AA₁C₁C.

再由EC₁⊆平面AA₁C₁C知，

BD⊥EC₁.

(2)设AA₁的长为h，连接OC₁.

在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，

故OE²＝()²＋()²＝4.

在Rt△EA₁C₁中，A₁E＝h－，A₁C₁＝2.

故EC＝(h－)²＋(2)².

在Rt△OCC₁中，OC＝，CC₁＝h，OC＝h²＋()².

因为OE⊥EC₁，所以OE²＋EC＝OC，即

4＋(h－)²＋(2)²＝h²＋()²，解得h＝3.

所以AA₁的长为3.