Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知$\overrightarrow a=（{cosA，cosB}）$，$\overrightarrow b=（{a，2c-b}）$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积${S_{△ABC}}=3\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量平行，列出方程，通过两角和与差的三角函数，化简求解角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形的面积，求出c，然后利用余弦定理求解a即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴（2c-b）•cosA-a•cosB=0，
∴cosA•（2sinC-sinB）-sinA•cosB=0，
即2cosAsinC-cosAsinB-sinA•cosB=0，
∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA•cosB，
∴2cosAsinC=sin（A+B），
即2cosAsinC=sinC，
∵sinC≠0∴2cosA=1，即$cosA=\frac{1}{2}$又0＜A＜π∴$A=\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴$A=\frac{π}{3}$，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×3c×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴c=4，由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA=${3^2}+{4^2}-2×3×4×\frac{1}{2}=13$，
∴$a=\sqrt{13}$．

点评 本题考查向量与三角函数相结合求解三角形的几何量，考查余弦定理的应用，是基础题．