Question

已知直线l：y=2x-与椭圆C：+y²=1 （a＞1）交于P、Q两点，
（1）设PQ中点M（x₀，y₀），求证：x₀＜；
（2）以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求椭圆C的方程．

Answer 1

解：（1）证明：把y=2x-代入+y²=1 （a＞1），
得：+（2x-）²=1（a＞1），
整理，得，
∴，
∵4a²+1＞4a²，
∴．
（2）由题设知，
∴（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，
∵，，
∴，
由，
知，，
∴，
即，
∵a＞1，
∴，故a=．
∴椭圆C的方程．
分析：（1）把y=2x-代入+y²=1 （a＞1），得，，mh 4a²+1＞4a²，能够证明．
（2）由题设知，（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，所以，即，由a＞1，得，故a=．由此能求出椭圆C的方程．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．