Question

已知函数f（x）=ax+

a

x

-3ln x．
（1）a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a的值代入函数解析式，求导后由导函数等于0解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得元函数的最小值；
（2）求出原函数的导函数，分a=0和a＞0两种情况分析f（x）在[1，2]上是单调函数时的导函数的符号，对于a＞0时，由导函数在x∈[1，2]时小于等于0恒成立列式求解a的取值范围．

解答：解：（1）由a=2，得f(x)=2x+

2

x

-3lnx(x＞0)，
∴f′(x)=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

．
令f′（x）=0，得x=2或x=-

1

2

．
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数		增函数

∴f（x）_min=f（2）=5-3ln2；
（2）f′(x)=a-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

．
若a=0，x∈[1，2]时f′（x）＜0
∴f（x）在[1，2]上单调递减，
若a＞0，由f′（1）＜0，且f（x）在[1，2]上是单调函数，
∴f′（x）≤0对x∈[1，2]恒成立，
即x∈[1，2]时，g（x）=ax²-3x-a≤0恒成立，
∴

a＞0 g(1)≤0 g(2)≤0

，即

a＞0 -3≤0 4a-6-a≤0

，解得0＜a≤2．
综上得0≤a≤2．

点评：本题考查了函数的单调性和导数之间的关系，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了借助于“三个二次”的结合解决问题，是中档题．