Question

已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是

    曲线在第一象限的交点，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为．是否为定值？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的焦点为，

∴双曲线的焦点为、，

设在抛物线上，且，

由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，

_s5u

∴，

又∵点在双曲线上，由双曲线定义得，

，∴，   ∴双曲线的方程为：．

（2）为定值．下面给出说明．

设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，

_5u∵圆与渐近线相切，∴圆的半径为，

 

故圆：，

显然当直线的斜率不存在时不符合题意，

设的方程为，即，

设的方程为，即，

∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，

∴直线被圆截得的弦长，

直线被圆截得的弦长，

∴，    故为定值．