Question

已知函数f(x)=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′(0)=2n(n∈N^*).

(1)求f(x)的解析式；

(2)若数列{a_n}满足=f′()，且a₁=4,试求{a_n}的通项公式；

(3)对(2)中数列{a_n}，设S_n=a₁+a₂+…+a_n，求证：S_n＜5.

Answer 1

(1)解：由f(x)的图象过（-4n,0），得b=4an.?

又f′(x)=2ax+b，由f′(0)=2n,得b=2n.?

所以a=,b=2n,即f(x)=x²+2nx.                                                                    ?

(2)解：由=f′()得=+2n,即=+2(n-1),?

=+2(n-2),?

……?

=+2×1,?

叠加各式得=+2(1+2+…+n-1)?

=+n(n-1).?

所以a_n=.                                                                                            ?

(3)证明：∵＜ (n≥2),                                                            ?

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＜4+++…+?

=4+(1-)+(-)+…+(-)?

=5-＜5.?

故S_n＜5.