Question

9．若关于x 的方程sinx+cosx-m=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有解，则实数m的取值范围是[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由题意，关于x 的方程sinx+cosx-m=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有解，转化为函数y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）与函数y=m的图象有交点问题．

解答 解：由题意，sinx+cosx-m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，则x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]
∴函数y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的值域为[1，$\sqrt{2}$]
关于x 的方程sinx+cosx-m=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
则函数y=m的值域为[1，$\sqrt{2}$]，即m∈[1，$\sqrt{2}$]
故答案为：[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．