Question

椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的两个焦点分别是F₁、F₂，等边三角形的边AF₁、AF₂与该椭圆分别相交于B、C两点，且2|BC|=|F₁F₂|，则该椭圆的离心率等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由△A为正三角形可得∠AF₁F₂=∠A=60°，则可求直线AF₁，AF₂的斜率，进而可求所在的直线方程，其交点，而AF₁中点B在椭圆上，代入椭圆的方程，结合b²=a²-c²及0＜e＜1可求该椭圆的离心率．
解答：解：由△AF₁F₂为正三角形可得∠AF₁F₂=∠AF₂F₁=60°
则直线AF₁，AF₂的斜率分别为 ，-
则直线AF₁，AF₂所在的直线方程分别为y=，y=，
其交点A（0，c），由于2|BC|=|F₁F₂|，得BC是三角形的中位线，得B是AF₁的中点，
从而AF₁中点B（ ，）在椭圆上，代入椭圆的方程可得
整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
两边同时除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴，（舍）
∴
故选C．
点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用，考查计算能力和数形结合思想．