Question

求直线m：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线n的方程．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：两点确定一条直线，其中m，l的交点也在n上，另外再确定一个点即可确定n的直线方程，这个点可以在m上任取一点，求其关于l的对称点即可． 　　解法一：在直线m∶2x＋y－4＝0上取一点A(2，0)，它关于直线l∶3x＋4y－1＝0的对称点为(x1，y1)，则由A的中点C一定在直线l上，并且A⊥l，得 　　解得x1＝，y1＝，即()． 　　由直线的两点式方程可得所求直线方程为2x＋11y＋16＝0． 　　解法二：设直线n上的动点P(x，y)关于直线l∶3x＋4y－1＝0的对称点为Q(x1，y1)，则有 　　 　　因点Q(x1，y1)在直线m∶2x＋y－4＝0上，故有2·－4＝0．化简，得2x＋11y＋16＝0即是所求的直线方程．

提示：

由平面几何知识可知，若直线m、n关于直线l对称，则它们具有下列性质： 　　(1)若直线m、n相交，则l是m、n的交角的平分线(两条)； 　　(2)若点A在直线m上，那么A关于直线l的对称点一定在直线n上，这时A⊥l，并且A的中点C一定在直线l上． 　　使用以上性质，可以求出直线m关于直线l对称的直线n的方程． 　　以上解法一是先求出两直线的交点，然后分别找出确定直线位置的：另一个点，再利用两点式写出方程即为所求；解法二则是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程．在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及非动点坐标(参数)．