Question

（2012•绵阳二模）已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+4n（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且首项b₁和公比q满足：

lim

n→∞

(

3n2+1

n+1

-qn-b1)=-S
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=

3(an-3)•bn

4

，记数列{c_n}的前n项和T_n，若不等式λ（a_n-2n）≤4T_n对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=5．当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，验证n=1时也成立．由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=

3(an-3)bn

4

=n•3ⁿ，知T_n═3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，利用错位相减法能求出Tn=

(2n-1)•3n+1+3

4

．不等式λ（a_n-2n）≤4T_n可化为λ≤（2n-1）•3ⁿ+1，由此能求出实数λ的最大值．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=5．
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，
验证n=1时也成立．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n+3（n∈N*）．
∵

lim

n→∞

(

3n2+1

n+1

-qn-b1)
=

lim

n→∞

(3-q)n2-(q+b1)n+1-b1

n+1

=-5，
∴

3-q=0 q+b1=5

，解得：b₁=2，q=3．
∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=2•3^n-1．（5分）
（Ⅱ）∵cn=

3(an-3)bn

4

=n•3ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ①
3T_n=3²+2•3ⁿ+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹②
由①-②得：-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3(3n-1)

3-1

-n•3n+1
=

(1-2n)•3n+1-3

2

，
∴Tn=

(2n-1)•3n+1+3

4

．（8分）
不等式λ（a_n-2n）≤4T_n可化为λ≤（2n-1）•3ⁿ+1，（*）
设f （n）=（2n-1）•3ⁿ+1，
易知函数f （n）在n∈N^*上单调递增，
故当n=1时（2n-1）•3ⁿ+1取得最小值为4，
∴由题意可知：不等式（*）对一切n∈N^*恒成立，只需λ≤4．
∴实数λ的最大值为4．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，求实数λ的最大值．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是不等式λ（a_n-2n）≤4T_n化为λ≤（2n-1）•3ⁿ+1．解题时要认真审题，仔细解答，注意极限的合理运用．