Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
解答：（1）解：∵e=，∴可设双曲线方程为x²-y²=λ．
∵过点（4，-），∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6；
（2）证明：∵=（-3-2，-m），=（2-3，-m），
∴=（-3-2）×（2-3）+m²=-3+m²，
∵M点在双曲线上，∴9-m²=6，即m²-3=0，
∴=0．
（3）解：△F₁MF₂中|F₁F₂|=4，由（2）知m=±．
∴△F₁MF₂的F₁F₂边上的高h=|m|=，∴S_△F1MF2=6．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．