Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点，
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD，MO，
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，
又M为PD的中点，所以PB∥MO。
因为平面ACM，平面ACM，
所以PB∥平面ACM。
（Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，
所以，即AD⊥AC，
又PO⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PO⊥AD，
而AC∩PO=O，
所以AD⊥平面PAC。
（Ⅲ）解：取DO的中点N，连接MN，AN，
因为M为PD的中点，
所以MN∥PO，且，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，
在Rt△DAO中，，
所以，
从而，
在Rt△ANM中，，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为。