Question

18．已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，△ABC的面积为S，且$\sqrt{3}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=2S．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{6}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形的面积公式，以及正弦定理，即可求角C的大小；
（Ⅱ）根据余弦定理建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC的面积为S，且$\sqrt{3}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2S$
∴$\sqrt{3}abcosC=2×\frac{1}{2}absinC$（分别写出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$与面积公式各2分）…（4分）
∴$\sqrt{3}cosC=sinC$，
又∵C为三角形内角
∴C=60°…（6分）
（Ⅱ）解法1：由余弦定理a²=6=b²+c²-bc…（8分）
=（b+c）²-3bc$≥{（b+c）^2}-\frac{3}{4}{（b+c）^2}=\frac{1}{4}{（b+c）^2}$…（11分）
即（b+c）²≤24，$b+c≤2\sqrt{6}$（当且仅当$b=c=2\sqrt{3}$时取到等号）
综上：$a+b+c≤3\sqrt{6}$．                                         …（13分）
解法2：由余弦定理a²=6=b²+c²-bc…（8分）=（b+c）²-3bc
∴（b+c）²=3bc+6≥4bc∴bc≤6
∴（b+c）²=3bc+6≤24…（11分）
∴$b+c≤2\sqrt{6}$
综上：$a+b+c≤3\sqrt{6}$．                                        …（13分）
解法2：由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{6}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2\sqrt{2}$，…（7分）
∵$B+C=\frac{2π}{3}$，
∴$b+c=2\sqrt{2}sinB+2\sqrt{2}sinC$=$2\sqrt{2}sinB+2\sqrt{2}sin（\frac{2π}{3}-B）$…（8分）
=$3\sqrt{2}sinB+\sqrt{6}cosB$=$2\sqrt{6}sin（B+\frac{π}{6}）$…（10分）
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sinB≤1$，…（11分）
从而$b+c≤2\sqrt{6}$．
综上：$a+b+c≤3\sqrt{6}$…（13分）

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．