Question

等腰梯形EDCF中，A、B分别为DE、CF的中点，DE＝2CF＝2AB＝4．沿AB将梯形折成60°的二面角．如图所示

(Ⅰ)DF与平面ABCD所成角；

(Ⅱ)求二面角A－DE－F的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：如图所示，下图中，， 　　经折叠后，， 　　且 　　∴平面　∴平面． 　　∵二面角的大小为60°　∴ 　　∴为等边三角形． 　　同理，平面　为等边三角形 　　(Ⅰ)取BC的中点P，连接FP　∵ 　　∴． 　　∴为DF与平面ABCD所成的角． 　　∵如图， 　　∴， 　　故　　6分 　　(Ⅱ)∵ 　　∴． 　　取AE的中点Q，连结FQ，则． 　　∴． 　　又作，则由三垂线定理，． 　　∴为二面角的平面角． 　　∵，． 　　∴，故． 　　∴二面角大小为　　12分 　　法2(向量法) 　　如图所示建立空间直角坐标系O为BC的中点 　　易知各点坐标如下：，， 　　又　∴E的坐标为 　　(Ⅰ)显然 　　∴为DF与平面ABCD所成的角． 　　 　　故DF与平面ABCD所成角的大小为　　6分 　　(Ⅱ)设二面角大小为，平面CDEF的法向量为 　　∵， 　　∴，令，则 　　而平面ADE的法向量． 　　∴ 　　∴二面角的大小为　　12分